Examen de Admisión Universidad de Antioquia – MATEMÁTICAS

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INFERENCIAS A PARTIR DE UN PROCESO FÍSICO REAL

El camino recorrido desde el planteamiento de la hipótesis hasta la validación de la conclusión está mediado por el esquema de implicación, piedra angular de la deducción. La formación inicial del esquema implicativo, se construye en el sujeto en el ámbito de las situaciones reales de la vida diaria, donde la implicación tiene una ubicación espacio temporal y una relación causa-efecto, es por llamarlo así, significativa.

Los problemas planteados en este subesquema se refieren a razonamientos fundamentados en procesos muy próximos a las situaciones experimentales, que se constituyen en vivencias más significativas y que en consecuencia facilitan el proceso deductivo propiamente dicho.

 

El siguiente ejemplo consta de 5 preguntas donde se hacen inferencias derivadas del funcionamiento de un proceso físico real, con apoyo gráfico.

DESCRIPCIÓN DE UN PROCESO DE RIEGO PARA UN CULTIVO

El diagrama indica el caudal de una acequia (1) que suministra el agua para el riego de un cultivo de maracuyá (3) mediante dos sistemas independientes así:

En el primero el agua ingresa por la compuerta A hasta el tanque (2) donde es almacenada y posteriormente a través de la compuerta C, es distribuida por un sistema de mangueras subterráneas que efectúan un riego por aspersión.

En el segundo el agua ingresa por la compuerta B y es distribuida directamente por un sistema de surcos en todo el cultivo, efectuándose un riego por inundación.

Una ley de recursos hídricos sólo permite tomar agua de la acequia por la compuerta A o la compuerta B pero no por las dos al mismo tiempo, con el objetivo de distribuir la toma de aguas entre los demás usuarios de la acequia. Cuando el tanque (2) está lleno y la compuerta A está abierta pero la compuerta C está cerrada, el agua sobrante pasa por un desagüe D a formar parte del acueducto de una finca. No hay otras condiciones bajo las cuales circule agua por D.

 

Las situaciones que se plantean a continuación, se fundamentan en el proceso descrito textualmente y se asumen las condiciones normales de funcionamiento.

 

  1. De las siguientes condiciones sólo una es suficiente que se dé para que haya riego en el cultivo. Ella es:
  1. La compuerta A está abierta.
  2. La compuerta C está abierta.
  3. La compuerta B está abierta.
  4. D. La compuerta A está abierta o lo está la compuerta B.

 


2. De las situaciones que se describen a continuación, sólo una de ellas no es posible en las condiciones de funcionamiento del sistema. Indique dicha situación.

  1. A. La compuerta A está No hay riego en el cultivo
  2. Las compuertas A y B están cerradas. Si hay riego
  3. C. La compuerta B está abierta. Hay riego por aspersión
  4. La compuerta B está abierta. Hay agua circulando por el desagüe D.

 

3. Asumiendo como verdadera la proposición: “No hay riego en el cultivo”, la única proposición que se puede inferir lógicamente es:

  1. Hay agua circulando por el desagüe D.
  2. Hay como mínimo dos compuertas cerradas.
  3. Las compuertas A y C están cerradas.
  4. Las compuertas A y B están cerradas.

 

 

4. De las proposiciones siguientes sólo una es verdadera. Señale dicha proposición:

  1. Si la compuerta B está abierta entonces hay riego en el cultivo.
  2. Si la compuerta B no está abierta entonces no hay riego en el cultivo.
  3. Si hay riego en el cultivo entonces la compuerta B está abierta.
  4. Si la compuerta B está cerrada entonces la compuerta A está abierta.

5. Aceptando como verdadera la siguiente premisa: “Hay riego en el cultivo pero la compuerta C está cerrada”. Indicar, de las siguientes proposiciones, cuál no se puede concluir de la premisa anterior:

  1. No hay agua circulando por D.
  2. Hay riego por inundación.
  3. La compuerta A está abierta.
  4. Sólo una compuerta está abierta.

 

 

ANÁLISIS DEL LENGUAJE.
Se considera acá el manejo del lenguaje proposicional y cuantificacional. Esto es:

Negación de proposiciones e inferencias derivadas de un enunciado dado aplicando las leyes de la lógica. Además se proponen problemas con conjuntos, los cuales se derivan del manejo de las operaciones lógicas. Estos problemas, por lo general, se presentan con un apoyo gráfico.

 

  1. Obtenga la traducción verbal de cada uno de los enunciados simbólicos escritos a continuación, sabiendo que

A: Edwin es profesor en la UNAL

E: Angela estudia en la U. de A.

I: Ignacio faltó a clase

O: Usted estudia suficiente

U: Oscar tiene las mejores calificaciones

 

Términos:

  • →: Condicional
  • ~: Negación
  • ∧: Conjunción
  • ∨: Disyunción

 

  1. Obtenga la traducción de las siguientes proposiciones lógicas:

Ejemplo: ~U : Respuesta:  No es cierto que Óscar tiene las mejores calificaciones 

  1. ~(~O) ____________________
  2. ~(A ∧ I) ___________________
  3. A ∨ E _____________________
  4. ~A ∧ ~E ___________________
  5. ~ (A ∨ E) __________________
  6. A ∨ (O ∧ I) _________________
  7. A → E ____________________
  8. A ∨ ~E ___________________
  9. ~(A → ~E) ________________

 

2. Obtenga la traducción simbólica de las siguientes proposiciones.

Ejemplo: No es cierto que Edwin no es profesor en la UNAL: Respuesta: ~(~A

  1. Ángela estudia en la U. de A. pero Ignacio faltó a clase _________________________________
  2. O usted estudia suficiente o Ignacio faltó a clase, pero no ambas cosas ___________________
  3. Oscar tiene las mejores calificaciones si Edwin es profesor en la UNAL ____________________
  4. Si Ángela estudia en la U. de A., Ignacio no falta a clase ________________________________
  5. Edwin es profesor en la UNAL, pero Oscar nunca tiene las mejores calificaciones ____________
  6. Aunque Ángela estudia en la U. de A., Edwin es profesor en la UNAL ______________________
  7. Ni Oscar tiene las mejores calificaciones, ni usted estudia suficiente _______________________

 

CONTROL DE VARIABLES

El control de variables es una competencia lógica que debe aplicarse en el análisis de una situación hipotética donde intervienen varias variables para poder distinguir como contribuye cada una de ellas a la obtención de un resultado propuesto. El siguiente ejemplo plantea 2 preguntas relacionadas con este subesquema.

Se dispone de 6 fungicidas para frutales designados por F1, F2, F3, F4, F5 y F6.

En el cuadro se indica la composición en miligramos de cada una de las sustancias A, B y C contenidas en los distintos fungicidas. La sustancia A sólo actúa como nutriente para los frutales, en tanto que las sustancias B y C actúan directamente contra algunos tipos de hongos.

1. Se adelanta un experimento que busca determinar la efectividad de la sustancia B en el control de un hongo determinado. En este caso los fungicidas que se deben seleccionar para el experimento son:

  1. F1, F2 y F3
  2. F2 y F5
  3. F1 y F3
  4. F1, F2, F3 y F4

2. Si el experimento busca determinar la efectividad de la sustancia C ante un tipo de hongo determinado, entonces los fungicidas que deben seleccionarse para el experimento son:

  1. F4 y F6
  2. F1 y F6
  3. F1, F3, F4
  4. F1 y F3

 

POSIBILIDADES LÓGICAS

Este subesquema indaga acerca de las consecuencias que se pueden o no desprender de una situación dada. En algunos casos las situaciones se presentan como posibles, esto es: el resultado expresado puede darse dentro de las condiciones planteadas, sin contradecir ninguna de estas pero tampoco puede decirse que sea verdadero.

 

Los siguientes son ejemplos de aplicación de este esquema:

Se tienen cinco medidores de agua A, B, C, D, E que corresponden a cinco apartamentos 1, 2, 3, 4, 5 no necesariamente en este orden, situados cada uno en un piso distinto de un edificio. Ninguno de los apartamentos tiene tanque auxiliar de reserva para el agua.

El instalador de los medidores no señaló la correspondencia respectiva y ahora se ha presentado un daño que requiere su correcta identificación. Se dispone de la siguiente información:

  1. Excepto el 2 y el 5 todos los demás apartamentos están habitados.
  2. Se cerraron todos los medidores y al abrir simultáneamente A y B el inquilino del 4 reportó la presencia de agua en su apartamento.

 

El cuadro anterior le puede facilitar su análisis, coloque X para descartar una posibilidad y V para indicar un acierto.

 

  1. Con la información disponible señale la única afirmación de la cual no se tiene certeza:
  1. El medidor A no corresponde al apartamento 3.
  2. Uno de los medidores A o B corresponde al apartamento 4.
  3. El medidor B corresponde al apartamento 2 o al apartamento 5.
  4. El medidor B no corresponde al apartamento 1.

 

2. A partir del estado anterior se cierra A y se abre C, (B continúa abierta), ningún inquilino reporta cambios a la situación anterior. Con la información recogida hasta el momento, la única afirmación falsa es:

  1. El medidor B corresponde al apartamento 4.
  2. El medidor C corresponde al apartamento 2 o al 5.
  3. El medidor A corresponde al apartamento 1 o al 3.
  4. El medidor E no corresponde al apartamento 5.

 

3. Continuando el proceso del estado inmediatamente anterior, se abre D y el inquilino del apartamento 1 reporta la presencia de agua en su apartamento. Se procede finalmente al ensayo siguiente: Se cierran todos los medidores y se abre y cierra sucesivamente C, el inquilino del 4° piso informa que siente el sonido propio del flujo de agua en la tubería que asciende al 5° piso. Con la información total recogida puede afirmarse que los medidores A, B, C, D y E corresponden en su orden a los apartamentos:

  1. 5, 4, 2, 1, 3
  2. 2, 4, 1, 5, 3
  3. 5, 3, 2, 1, 4
  4. 2, 4, 5, 1, 3

 

ESQUEMAS DE PROPORCIONALIDAD

Este es uno de los esquemas mas importantes en el desarrollo de la comprensión científica. Cuando se trata de establecer la relación existente entre las variables que intervienen en una determinada situación es necesario establecer si estas crecen o decrecen al mismo tiempo y si esa variación sigue un patrón constante, caso en el cual se habla de un comportamiento proporcional.

 

Una proporción es la igualdad entre dos razones (fracciones). La configuración de este esquema pasa por la comprensión de las fracciones en todas sus manifestaciones como son las razones, porcentajes y decimales. El esquema de proporcionalidad lo analizamos a través de los siguientes subesquemas:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

Cuando al comparar el comportamiento de dos variables se observa que cuando una de ellas crece (decrece) la otra también crece (decrece), se dice que las variables están directamente correlacionadas. Si además, la razón entre las parejas de valores es la misma, se dice que las variables son directamente proporcionales.

Otras veces sucede que mientras que el valor de una de las variables aumenta, la otra disminuye. En este caso se dice que las variables están inversamente correlacionadas. Si además se cumple que el producto entre estas variables es constante, entonces se dice que son inversamente proporcionales.

Una forma usual de presentar el problema de proporcionalidad es mediante la conocida regla de tres.

 

Ejemplos.

  1. Cuando a una obra le falta el 40 % de su ejecución el tiempo de trabajo invertido por el equipo es 26 días más que cuando llevaba el 40%. Si las condiciones de trabajo se mantienen, el tiempo total, en días, de ejecución de la obra es:
  1. 65
  2. 104
  3. 130
  4. 156

 

2.

Se sabe que A y B son magnitudes directamente proporcionales; por lo tanto, el valor de B cuando A vale 6 es

  1. 36
  2. 50
  3. 60
  4. 20

 

INTERPRETACIÓN DE PORCENTAJES

La interpretación de porcentajes es una forma de analizar las fracciones cuando la unidad se identifica con el 100/100, el cual se denota 100%. Se trata entonces de analizar en términos de porcentajes referidos a diferentes dominios de referencia, considerados como un todo (unidad), cantidades o datos representados mediante diagramas. Los siguientes ejemplos ilustran este subesquema.

La gráfica muestra el resultado de un examen de matemáticas, realizado a un grupo de alumnos. La nota mínima aprobatoria es 3.0; se califica de 1 a 5.

 

  1. De las siguientes, la única falsa es
  1. el número total de alumnos es 60
  2. 50% de estudiantes obtuvo nota mínima aprobatoria
  3. un doceavo de los alumnos saco 1
  4. una cuarta parte de los alumnos no aprobó el examen

 

2. De las siguientes, la única verdadera

  1. Un estudiante sacó 5.0
  2. El 50% de los estudiantes obtuvo, al menos, una nota de 3.0
  3. la nota de menor porcentaje fue 5
  4. el 20% de los alumnos perdió el examen

 

COMBINATORIA Y PROBABILDAD SIMPLE

La competencia combinatoria se refiere a la habilidad del sujeto para considerar todas las posibilidades que se presentan ante una situación planteada. Esto ocurre cuando es capaz de considerar lo real como una parte de lo posible. De esta habilidad se desprende el concepto de probabilidad simple, la cual se resume familiarmente como casos favorables sobre casos posibles

 

En una bolsa opaca hay 13 pelotas, algunas son verdes y otras amarillas. El número de pelotas verdes es uno más que el de las amarillas.  La probabilidad de sacar de la bolsa una pelota amarilla es:

  1. 1/13
  2. 6/13
  3. 7/13
  4. 1/2

 

2. El señor X, que perdió un dedo en su mano izquierda, ha olvidado el número de la clave de su tarjeta, pero recuerda que los 4 números de la clave son diferentes y son algunos de los números 2, 4, 5, 6, 7, 9. Además el primer número es el número de dedos que tiene ahora en su mano izquierda y el segundo es el numero de dedos que tiene en sus dos manos.  El número máximo de intentos necesarios para obtener la clave correcta es:

  1. 6
  2. 9
  3. 3
  4. 12

 

3. La probabilidad de salir menos caras que sellos

  1. 1/4
  2. 1/8
  3. 3/8
  4. 1/2

 

Razonamiento Abstracto

Aunque el término abstracto puede ser aplicable a diferentes esquemas de razonamiento que hemos considerado, acá se aplica a las habilidades necesarias para la formulación y construcción de teorías abstractas, tales como: aplicación de reglas, observación de patrones de comportamiento y manejo simbólico. Dentro de este esquema consideramos los siguientes aspectos:

OPERACIONES NO CONVENCIONALES

Se trata acá de realizar operaciones definidas de manera arbitraria siguiendo las reglas dadas y solamente ellas, aunque de alguna manera estén en contraposición con los manejos operacionales que usualmente se tienen en la aritmética o el álgebra. También se puede plantear una especie de juego, donde se expresan con precisión cuales son las reglas para jugarlo.

 

Se define la operación ∆ en el conjunto de los números reales diferentes de cero así:

  1. El valor resultante de (1 ∆ 2) ∆ 3 es:
  1. 15/6
  2. 10/3
  3. 61/30
  4. 25/36

 

2. Si x ∆ y = y ∆ x, entonces, de las afirmaciones siguientes la única verdadera es:

  1. La igualdad se cumple para x, y en todo el conjunto de los reales
  2. La igualdad se cumple solamente para x=y
  3. La igualdad se cumple solamente para los reales positivos
  4. La igualdad se cumple para x, y en todo el conjunto de los reales sin el cero

 

RAZONAMIENTO ARITMÉTICO

Como parte del razonamiento abstracto consideramos también la habilidad para resolver problemas aritméticos o algebraicos sencillos que requieran el planteo de ecuaciones.

Ejemplos.

  1. Pedro  debe pagar un deuda durante nueve dias de tal  manera que cada día debe pagar el doble de lo que pagó el día anterior.  Si el primer día Pedro pagó 4 Euros, entonces la cantidad  total de dinero que Pedro pagó fue:
  1. 4x2x2x2x2x2x2x2x2
  2. 22+23 +24 +25 +26 +27 +28 +29 +210
  3. 29
  4. 2 +22 +23 +24 +25 +26 +27 +2+29

 

2. El resultado de sumar 54 + 54 + 54 + 54 + 54 es

  1. 57
  2. 55
  3. 520
  4. 244

 

SECUENCIAS ALFANUMÉRICAS

Se trata aquí de identificar reglas o patrones de formación que se presentan al realizar una determinada operación, dando como resultado la construcción de una secuencia.

Ejemplos.

Las figuras A, B, C, D muestran el número de líneas que pueden trazarse cuando se tienen 2, 3, 4, 5 puntos respectivamente, tales que en ninguna de ellas hay 3 puntos alineados.

 

  1. El número de líneas que pueden trazarse cuando se tienen 8 puntos tales que no hay 3 puntos alineados es:
  1. 14
  2. 20
  3. 25
  4. 28

 

A partir de los números 2 y 9 se establece la secuencia:

2 , 9 , 6 , 7 , 18 , 5 , 54 , X , Y

 

2. El número que ocupa el espacio marcado con X en la secuencia es:

  1. 15
  2. 13
  3. 3
  4. 2

 

3. El número que ocupa la posición marcada con Y en la secuencia es:

  1. 98
  2. 120
  3. 135
  4. 162

 

CONSTRUCCIÓN DE LENGUAJES

Se trata de definir un lenguaje arbitrario dando sus reglas de formación y trasformación. En esencia, se trata de la definición de un juego simbólico para observar la habilidad para jugarlo y predecir posibles resultados.

Ejemplos.

Se define la operación  en el conjunto de los números reales diferentes de cero así:

  1. El valor resultante de  (3 * 2) * 1 es:
  1. -1/6
  2. -11/30
  3. 2
  4. 0

 

2. Si a * b = b * a, entonces, de las afirmaciones siguientes la única verdadera es:

  1. La igualdad se cumple para todos los reales distintos de cero
  2. La igualdad se cumple cuando uno de los dos es igual a cero
  3. La igualdad se cumple siempre y cuando  a=b ó a=-b, siendo a y b distintos de cero
  4. La igualdad se cumple sólo cuando a=1 ó b=1

 

Se define la operación arbitraria entre los números reales p, q así

3. La operación 4 * 2 es igual a

  1. 16
  2. -16
  3. 32
  4. -32

 

4. La operación A * A es igual a

  1. -A3/4
  2. -A3
  3. A3/4
  4. A3

 

5. La operación 8 * B es igual a

  1. 16B–192
  2. 32B – 384
  3. 352B
  4. 176B

 

RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO

Este razonamiento se refiere principalmente a la conformación del espacio, con sus relaciones geométricas. Discriminar en los cuerpos sus contornos, caras y volúmenes con sus correspondientes medidas como perímetros, áreas y volúmenes. Además de la relación de estas propiedades geométricas entre diferentes cuerpos. Se considera también como razonamiento geométrico el análisis de gráficos de funciones o diagramas de barras.

Dentro del razonamiento geométrico consideramos los siguientes subesquemas:

 

AREAS Y PERÍMETROS

Se indaga acerca de la asimilación de los conceptos de área y perímetro de figuras y relaciones con otras figuras, así que también involucra relaciones espaciales.

Ejemplos.

 

  1. De las figuras anteriores, la única que tiene un área sombreada distinta a las otras tres es:
  1. A
  2. B
  3. C
  4. D

 

2. Si se dispone sólo de piezas iguales de forma triangular con las dimensiones indicadas arriba, entonces de las figuras anteriores la única en la cual la región sombreada no puede cubrirse utilizando dichas piezas sin partir añadir o superponer piezas es:

  1. A
  2. B
  3. C
  4. D

 

3. En la figura A, la fracción que representa el área sombreada con respecto al área del cuadrado total es:
A. 1/16     B. 1/8     C. ¼     D. 1/2

 

VOLÚMENES

Como su nombre lo indica, se trata de apreciar el volumen de un cuerpo y su relación volumétrica con otros cuerpos.

Ejemplo.

  1. Una barra de acero en forma de paralelipedo rectangular, con dimensiones 2 cm x 3 cm x 4 cm, se funde para formar tres cubos de igual volumen.  La logitud del lado de cada cubo en cm es:
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

 

RELACIONES ESPACIALES

Este es el aspecto más determinante dentro del razonamiento geométrico ya que intervienen acá aspectos como reconocimiento de propiedades geométricas que permanecen invariantes bajo transformaciones; estas propiedades pueden estar relacionadas con los aspectos estudiados en los anteriores subesquemas y otros como simetrías, rotaciones, traslaciones, etc.

1. Diana forma el cuerpo en forma de cubo con cubos iguales. Luego, lo descompone y forma el cuerpo en forma de pirámide. El número de cubos del primer cuerpo que no usó en el segundo es

  1. 0
  2. 34
  3. 79
  4. 46

 

2. La siguiente figura consta de nueve cubos pegados:

 

 

 

 

 

Usando esta figura como base, la menor cantidad de cubitos que faltan para construir un cubo sólido es:

  1. 18
  2. 27
  3. 55
  4. 64

 

SERIES GRÁFICAS

En este subesquema se trata de identificar un patrón de construcción en una secuencia gráfica tal que permita reconocer la figura que debe seguir en el desarrollo de la serie.

Ejemplo.

Dado el cubo que se muestra en figura, el croquis que puede ser doblado para obtener el cubo de la figura es:

A             B             C             D

  1. A
  2. B
  3. C
  4. D

 

ANÁLISIS DE GRÁFICAS

Otro aspecto del pensamiento geométrico se refiere a la interpretación de la información suministrada gráficamente, apreciar como interactúan las variables en diferentes formas de representación.

La gráfica muestra los resultados obtenidos por los candidatos A, B, C, D, y E en la primera vuelta de las elecciones presidenciales sobre un total de 15´000.000 de votos.

 

  1. De las afirmaciones siguientes la única verdadera es:
  1. El candidato A obtuvo el 45% de la votación total
  2. Entre los  candidatos  A y B obtuvieron más del 50% de la votación total
  3. La diferencia entre el número de votos de A y el de B es el 30% de la votación total
  4. Entre los candidatos B y D obtuvieron el 20% de la votación total

 

En segunda vuelta de elecciones sólo participan los 2 candidatos que obtuvieron mayor número de votos en la primera vuelta, y los restantes apoyan a uno cualquiera de los dos, manteniendo igual número de electores respectivos de la primera  vuelta  sobre  el mismo número total de 15´000.000 de votos. Gana el candidato que obtenga el mayor número de votos.

2. De las siguientes alianzas,  la  única que permite el triunfo del candidato E es:

  1. (A + B + D) contra (E + C)
  2. (A + C + D) contra (E + B)
  3. (A + C) contra  (E + B + D)
  4. (A + D) contra (E + B + C)

 

3. De las siguientes alianzas, la única que no logra el triunfo de alguno de los 2 candidatos mayoritarios es

  1. (A + D + C) contra (E + B)
  2. (A + D + B) contra (E + C)
  3. (A + B) contra (E + C + D)
  4. (A + C) contra (E + B + D)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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